Question

正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，AE交A₁D于点H.

(1)求证：AE⊥平面A₁BD；

(2)求二面角DBA₁A的大小(用反三角函数表示结果)；

(3)求点B₁到平面A₁BD的距离.

Answer 1

(1)证明：∵ACC₁A₁是正方形，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点,

∴tan∠EAC=tan∠DA₁A=.

∴∠EAC=∠DA₁A.

∵∠ADA₁+∠DA₁A=90°,

∴∠ADA₁+∠EAC=90°.∴AE⊥A₁D.                                      

∵BA=BC,D是棱AC的中点，∴BD⊥AC.

∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，

∴BD⊥平面ACC₁A₁.

∴AE⊥BD.

∴AE⊥平面A₁BD.                                                     

(2)解：连结AB₁，交A₁B于F，连结HF.

∵ABB₁A₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B.

∵AE⊥平面A₁BD，∴HF⊥A₁B.

∴∠AFH是二面角D-BA₁-A的平面角.                                    

在正方形ABB₁A₁中，AF=.

在Rt△ADA₁中，AH==.                                 

在Rt△AFH中，sin∠AFH==,

即二面角DBA₁A的大小是arcsin.                                  

(3)解：设点B₁到平面A₁BD的距离为h,则三棱锥B₁—A₁BD的体积=h.

                                                                     

又∵===AH·,                          

∴点B₁到平面A₁BD的距离h=AH=.