Question

已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，（n=1，2，3，…）
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3…），如果对任意n∈N^*，都有，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用条件a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，n=1，2，3可求；
（Ⅱ）再写一式a₁+a₂+a₃++a_n+a_n+1=n+1-a_n+1与已知条件相减可得2a_n+1-a_n=1，即2a_n+1=a_n+1，从而有，所以可证数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅲ）由（II）可得，进而可得数列{b_n}的通项．考查其单调性，从而求得最大值，故可求实数t的取值范围．
解答：解：（I）..（3分）
（II）由题可知：a₁+a₂+a₃++a_n-1+a_n=n-a_n①a₁+a₂+a₃++a_n+a_n+1=n+1-a_n+1②
②-①可得2a_n+1-a_n=1..（5分）
即：，又..（7分）
所以数列{a_n-1}是以为首项，以为公比的等比数列（8分）
（Ⅲ）由（II）可得，（9分）
（10分）
由可得n＜3
由b_n+1-b_n＜0可得n＞3（11分）
所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞＞b_n＞
故{b_n}有最大值
所以，对任意n∈N^*，有（12分）
如果对任意n∈N^*，都有，即成立，
则，故有：，（13分）
解得或
所以，实数t的取值范围是（14分）
点评：本题主要考查递推关系式的运用，考查利用构造法证明数列是等比数列，在（Ⅲ）中，要通过研究数列{b_n}的通项，考查其单调性，从而利用最值法解决恒成立问题，这也是一种常用方法．