Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=3S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₄a_n，试比较•的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n，得a_n+2=3S_n+1，故a_n+2-a_n+1=3a_n+1，整理得 （n∈N^*），由此能求出数列{a_n}的通项公式．（2），故n=1，b₁==0；n≥2，++（n-2）（n-1）+，由此能比较的大小．
解答：解：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n（1），
得a_n+2=3S_n+1（2）
（2）-（1）得 a_n+2-a_n+1=3a_n+1，
整理得 （n∈N^*）
∴数列a₂，a₃，a₄，…，a_n，…是以4为公比的等比数列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
所以，…（5分）
（2）∵，b_n=log₄a_n，
∴
∴n=1，b₁==0
n≥2，++（n-2）（n-1）+
=-1+（n-1）]

∴…（12分）
点评：本题考查通项公式的证明和比较大小，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．