Question

如图是各棱长均相等的正四棱锥表面展开图，T为QS的中点，则在四棱锥中PQ与RT所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间角

分析：连接SP，RA，相交于O，连接TO，则TO∥PQ，∠RTO为两异面直线PQ与RT所成角或补角．证明AR⊥平面PQS，可得△TOR为直角三角形，解此直角三角形求出cos∠RTO的值．

解答： 解：设棱长为2，如图，在正四棱锥中，连接SP，RA，相交于O，连接TO，
∵ET为QS的中点，
则TO∥PQ，∠RTO为两异面直线PQ与RT所成角或补角．
由正四棱锥的性质可得QO⊥平面APRS，故QO⊥AR．
再由正方形ABCD的对角线的性质可得AR⊥PS，
这样，AR垂直于面PQS内的两条相交直线QO和PS，故AR⊥平面PQS，故△TOR为直角三角形．
∵OT=1，OR=

2

，TR=

3

，故cos∠RTO=

3

3

，
故答案为

3

3

．

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，属于中档题．