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    某化工企业生产某种化工原料，在生产过程中对周边环境将造成一定程度的污染，过去没有采取任何治理污染的措施，依据生产和营销的统计数据发现，该企业每季度的最大生产能力为2万吨，且每生产x万吨化工原料，获得的纯利润y（百万元）近似地满足：y=（x+1）ln（x+1）．自2007年3月人民代表大会召开后，该企业认识到保护环境的重要性，决定投入资金进行的污染治理，计划用于治理污染的资金总费用为y1=2px（百万元）（其中x为该工厂的生产量，p为环保指标参数，p∈（0，1]．
    （I）试写出该企业进行污染治理后的利润函数f（x）；
    （II）试问p控制在什么范围内，该企业开始进行污染治理的第一个季度，在最大生产能力的范围内始终不会出现亏损？
    【答案】分析：（I）由题意，该企业进行污染治理后的利润函数为f（x）=y-y1，由此可得函数解析式；
    （II）求导函数，确定函数的单调性，即可得到结论．
    解答：解：（I）由题意，该企业进行污染治理后的利润函数为f（x）=y-y1=（x+1）ln（x+1）-2px．（x＞0）．…（3分）
    （II）f′（x）=ln（x+1）+1-2p．
    令f′（x）=0，得x=e2p-1-1．…（4分）
    ①当．
    所以f（x）在[0，2]上为增函数，且f（x）≥f（0）=0．
    即当0＜p≤时，对所有x∈（0，2]，都有（x+1）ln（x+1）≥2px．…（8分）
    ②当2p＞1，即＜p＜1时，e2p-1-1＞0．
    则当x∈（0，e2p-1-1）?（0，2]时，f′（x）＜0．…（11分）
    所以f（x）在（0，e2p-1）上为减函数，且f（x）＜f（0）=0
    则（x+1）ln（x+1）＜2px．…（13分）
    综合可知，当0＜p≤时，生产的第一季度始终不会出现亏损现象．…（14分）
    点评：本题考查函数的模型的建立，考查导数知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
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    （II）试问p控制在什么范围内，该企业开始进行污染治理的第一个季度，在最大生产能力的范围内始终不会出现亏损？

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

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    （II）试问p控制在什么范围内，该企业开始进行污染治理的第一个季度，在最大生产能力的范围内始终不会出现亏损？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    (本小题满分13分)

    某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11 – x)2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a≤3)．

    （Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L (x)与出厂价x的函数关系式；        

    （Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    某化工企业生产某种化工原料，在生产过程中对周边环境将造成一定程度的污染，过去没有采取任何治理污染的措施，依据生产和营销的统计数据发现，该企业每季度的最大生产能力为2万吨，且每生产x万吨化工原料，获得的纯利润y（百万元）近似地满足：y=（x+1）ln（x+1）．自2007年3月人民代表大会召开后，该企业认识到保护环境的重要性，决定投入资金进行的污染治理，计划用于治理污染的资金总费用为y1=2px（百万元）（其中x为该工厂的生产量，p为环保指标参数，p∈（0，1]．
    （I）试写出该企业进行污染治理后的利润函数f（x）；
    （II）试问p控制在什么范围内，该企业开始进行污染治理的第一个季度，在最大生产能力的范围内始终不会出现亏损？

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