Question

已知a，b∈R₊且a＋b＝1，求证：(a＋)²＋(b＋)²≥．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵a，b∈R+且a＋b＝1， 　　∴ab≤()2＝， 　　∴(a＋)2＋(b＋)2＝4＋(a2＋b2)＋() 　　＝4＋[(a＋b)2－2ab]＋ 　　＝4＋(1－2ab)＋≥4＋(1－2×)＋． 　　∴(a＋)2＋(b＋)2≥． 　　思路分析：证明不等式类似于证明等式那样，通常从较繁的一边向另一边化简，变形中要巧用已知条件，由于a，b的和为定值．因而可应用基本不等式去证明，首先应对不等式的左边变形和整理．

提示：

本题中条件a＋b＝1是解题的重点，由基本不等式的知识可联想知应由重要不等式来变形出要证明的结论，本题a＋b＝1，也可以视为是“1”的代换问题，如下面的证法： 　　左边＝(a＋)2＋(b＋)2＝a2＋b2＋4＋() 　　＝4＋a2＋b2＋ 　　＝4＋a2＋b2＋1＋＋1 　　＝4＋(a2＋b2)＋2＋2(＋)＋()≥4＋＋2＋2×＋2·· 　　＝4＋＋2＋4＋2＝． 　　因此，抓住“1”的代换，作为证明的一条线索也可以证明这个问题，即在综合法中，每一个题设条件所反馈出来的“信息”，都是至关重要的，也都有可能成为解题的突破口．