Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）；
（1）若a=3，求函数f（x）的单调区间与极值
（2）若函数f（x）≤2x²恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数的单调区间与极值，先求导数，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．减区间与增区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数为正，右侧导数为负时，为极大值，当极值点左侧导数为负，右侧导数为正时，为极小值．
（2）函数f（x）≤2x²恒成立，即lnx-x²-ax≤0（x＞0）恒成立．分离变量，得，a≥

lnx

x

-x恒成立，则只需a大于等于

lnx

x

-x的最大值即可．用导数求出

lnx

x

-x的最大值即可．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

，
当0＜x＜

1

2

或x＞1时，f′(x)＞0，
当

1

2

＜x＜1时，f^′（x）＜0
∴f(x)在(0，

1

2

)和(1，+∞)上是增函数，在(

1

2

，1)上是减函数，
∴f(x)极大值=f(

1

2

)=-

5

4

-ln2，f(x)极小值=f（1）=-2
f′（x）=

1

x

+x²-a=

2x2-ax+1

x

（x＞0），
（2）由条件可得lnx-x²-ax≤0（x＞0），
则当x＞0时，a≥

lnx

x

-x恒成立，
令h（x）=

lnx

x

-x（x＞0），则h′（x）=

1-x2-lnx

x

，
令k（x）=1-x²-lnx（x＞0），
则当x＞0时，k′（x）=-2x-

1

x

＜0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．
又k′（1）=0，
所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
所以h（x）_max=h（1）=-1，所以a≥-1

点评：本题主要考察了应用导数求函数的单调区间，极值，最值，以及恒成立问题的判断．