Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=，2S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项b_n=，求数列{b_n}的前n项的和T_n；
（3）求满足不等式3T_n＞S_n（n∈N₊）的n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证明数列为等比数列，只需证明数列的后一项比前一项为常数即可，先根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求出数列{a_n}的递推关系式，再求，得到常数，即可证明．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，求得其通项公式，进而利用公式法求得数列的前n项的和．
（3）将原不等式进行整理得到，令，整体代换，解出不等式即可．
解答：解：（1）由2S_n+1=3S_n+2得到，2S_n=3S_n-1+2（n≥2）
则2a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₂=，2S₂=3S₁+2，∴
则
故数列{a_n}为等比数列，且
（2）由（1）知，，又由数列{b_n}的通项b_n=，则
故=
（3）由（1）知，，则=
由（2）知，
则3T_n＞S_n（n∈N₊）?，
令（t＞1），则，
解得 ，即
又由在R上为增函数，，，
故n=1，2，3
点评：本题考查等比数列的证明和求数列{a_n}的通项公式a_n以及与此有关的解不等式问题，解题时要认真审题，应熟练掌握一些常用的数列的求和方法如公式法，错位相减法，叠加法等．