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    （本题满分14分）设曲线在点处的切线与y轴交于点.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）设数列的前项和为，猜测的最大值并证明你的结论.

     

     

     

     

     

     

    解：（1）,                   …………………… 1分

    ∴点P处的切线斜率,                  ………………………… 2分

    ∴切线方程为:,        ………………………… 4分

    令得: ,

    故数列的通项公式为:.          ………………………………… 6分

    (2) ------①…………… 7分

    两边同乘得:------②

    ①②得: ………8分

    ∴                       ……………………10分

    其中, ,,

    猜测的最大值为.证明如下:                         ………………… 11分

    (i)当为奇数时，；           ………………… 12分
    (ii)当为偶数时，,设,则.

    ,  ∴.  ………… 13分

    故的最大值为,即的最大值为.      ……………… 14分

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    （3）记，且在上的最大值为M，证明：．

     

     

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