Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过F₁的直线L与该椭圆相交于M、N两点，且|

F1M

|=2|

F1N

|，求直线L的方程．

Answer 1

分析：（1）设出P点和两焦点坐标，由|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

列出方程组求解c的值，然后结合离心率和隐含条件a²=b²+c²求得a，b的值，则椭圆的方程可求；
（2）由题意可知直线L的斜率存在，设出直线方程，和椭圆方程联立后得根与系数的关系，由|

F1M

|=2|

F1N

|得到M，N的纵坐标的关系，结合根与系数关系列式求解k的值，则直线L的方程可求．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0）．
则由|OP|=

7

2

，得x02+y02=

7

4

．
由

PF1

•

PF2

=

3

4

，得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

．
即x02+y02-c2=

3

4

，∴c=1．
又∵

c

a

=

2

2

，∴a²=2，b²=1．
因此所求椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1；
（2）设直线L的方程为y=k（x+1），
联立

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2(k2-1)

2k2+1

．
∵y₁=-2y₂，
∴

-y2=y1+y2=k(x1+x2+2)= 2k 2k2+1 -2y22=y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=- k2 2k2+1

，解得：k=±

14

2

．
∴直线L的方程为y=±

14

2

(x+1)．
即

14

x-2y+

14

=0或

14

x+2y+

14

=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是由向量的关系得到坐标的关系，是高考试卷中的压轴题．