Question

（2004•黄浦区一模）已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且{a_n+1-a_n}（n∈Z^）是等差数列，{b_n-2}（n∈Z^）是等比数列．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在k∈Z⁺，使a_k-b_k∈(0，

1

2

)？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据{b_n-2}（n∈Z^）是等比数列，可求{b_n-2}的通项公式，进而可求数列{b_n}的通项公式；
（2）根据{a_n+1-a_n} （n∈Z⁺）是等差数列，又a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，利用叠加法可求数列{a_n}的通项公式；
（3）先表示an-bn=

(n-1)(n-6)

2

+4[1-(

1

2

)n-1]，进而可求其范围，从而得结论．

解答：解：（1）∵{b_n-2} （n∈Z⁺）为等比数列，又b₁-2=4，b₂-2=2，b₃-2=1，
∴公比q=

1

2

，bn-2=4•(

1

2

)n-1，bn=2+4•(

1

2

)n-1（n∈Z⁺）（2分）
（2）∵{a_n+1-a_n} （n∈Z⁺）是等差数列，又a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，
∴公差d=1，a_n+1-a_n=-2+（n-1）=n-3（3分）
于是a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[（n-1）-3]+[（n-2）-3]+…+（1-3）+6
=

(n-1)n

2

-3(n-1)+6=

(n-1)(n-6)

2

+6（n∈Z⁺）（5分）
（3）an-bn=

(n-1)(n-6)

2

+4[1-(

1

2

)n-1]
∵-(

1

2

)n-1随正整数n的增加而增加
∴当n≥6时，an-bn≥a6-b6=4[1-(

1

2

)5]=

31

8

＞

1

2

（7分）
又a₁-b₁=a₂-b₂=a₃-b₃=0a4-b4=

3•(-2)

2

+4(1-

1

8

)=

1

2

a5-b5=

4•(-1)

2

+4(1-

1

16

)=

7

4

＞

1

2

（9分）
由此可见，不存在k∈Z⁺，使an-bn∈(0，

1

2

)（10分）

点评：本题的考点是等差数列的通项公式，主要考查数列通项的求解，考查是否存在性问题，关键是转化为等差数列、等比数列研究问题．