Question

如图,ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱.

(1)求证:⊥平面ACC₁A₁;

(2)若二面角C₁-BD-C的大小为60°,求异面直线BC₁与AC所成角的大小.

Answer 1

解法一:(1)证明:∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱,

∴CC₁⊥平面ABCD.

∴BD⊥CC₁.

∵ABCD是正方形,

∴BD⊥AC.

又∵AC、CC₁平面ACC₁A₁,且AC∩CC₁=C,

∴BD⊥平面ACC₁A₁.

(2)解:设BD与AC相交于O,连结C₁O.

∵CC₁⊥平面ABCD,BD⊥AC,

∴BD⊥C₁O.

∴∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角.

∴∠C₁OC=60°.

连结A₁B.

∵A₁C₁∥AC,

∴∠A₁C₁B是BC₁与AC所成的角.

设BC=a,则CO=a,CC₁=CO·tan60°=a,A₁B=BC₁=,A₁C₁=,

在△A₁BC₁中,由余弦定理得cos∠A₁C₁B=,

∴∠A₁C₁B=arccos.

∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为arccos.

解法二:(1)证明:建立空间直角坐标系D—xyz,如图.

设AD=a,DD₁=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C₁(0,a,b),

∴=(-a,-a,0), =(-a,a,0),=(0,0,b).

∴·=0, ·=0.

∴BD⊥AC,BD⊥CC₁.

又∵AC、CC₁平面ACC₁A₁,且AC∩CC₁=C,

∴BD⊥平面ACC₁A₁.

(2)解:设BD与AC相交于O,连结C₁O,则点O坐标为(,,0), =(-,,b).

∵BD·OC₁=0,

∴BD⊥C₁O.又BD⊥CO,

∴∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角.∴∠C₁OC=60°.

∵tan∠C₁OC=,∴b=a.

∵=(-a,a,0), =(-a,0,b),

∴cos〈, 〉==.

∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为arccos.