Question

已知数列{a_n}满足a1=3，

2-2an+1

an+1-3

=an(n∈N*)，记bn=

an-2

an+1

．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记cn=

3

an+1

，求证：c1•c2•c3…cn＞

7

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

2-2an+1

an+1-3

=an(n∈N*)，可得bn=

an-2

an+1

=

4(an+1-2)

an+1+1

=4bn+1，从而可得数列{b_n}是以

1

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列，故可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）将（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，等价于t≤

4n+9

2n

=2n+

9

2n

对任意n∈N^*恒成立，根据y=m+

9

m

(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，可求右边函数的最小值，从而可求实数t的取值范围；
（Ⅲ）因为cn=

3

an+1

=1-

1

4n

，为了证明结论，首先猜想并证明(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)，利用

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

＜

1 4

1- 1 4

=

1

3

，即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵

2-2an+1

an+1-3

=an(n∈N*)，∴bn=

an-2

an+1

=

4(an+1-2)

an+1+1

=4bn+1，
∴

bn+1

bn

=

1

4

∵a1=3，b1=

1

4

∴数列{b_n}是以

1

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列
∴bn=

1

4n

；
（Ⅱ）∵bn=

an-2

an+1

，∴an=

2•4n+1

4n-1

∵（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，
∴t≤

4n+9

2n

=2n+

9

2n

对任意n∈N^*恒成立
∵y=m+

9

m

(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增
∴(2n+

9

2n

)min=min{2+

9

2

，4+

9

4

}=

25

4

∴t≤

25

4

∴实数t的取值范围是(-∞，

25

4

]；
（Ⅲ）∵cn=

3

an+1

=1-

1

4n

，
猜想(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)
用数学归纳法证明：
①n=1时，左边=

3

4

=右边；n=2时，左边=

45

64

，右边=

11

16

，左边＞右边；
②假设n=k（k≥2）时结论成立，即(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4k

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4k

)
则n=k+1时，左边=(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4k

)(1-

1

4k+1

)≥[1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4k

)](1-

1

4k+1

)
＞1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4k+1

)=右边
由①②知，猜想(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)成立
又

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

＜

1 4

1- 1 4

=

1

3

∴c1•c2•c3…cn=(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)＞1-

1

3

＞

7

12

∴c1•c2•c3…cn＞

7

12

点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是恒成立问题的等价转化，及数列的特殊性，第（Ⅲ）难度较大．