对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”．
（I）若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{an}的一个通项公式；
（II）若a1=2，{an}的“差数列”的通项为2n，求数列{an}的前n项和Sn；
（III）对于（II）中的数列{an}，若数列{bn}满足anbnbn+1=-21•28（n∈N*），且b4=-7．
求：①数列{bn}的通项公式；②当数列{bn}前n项的积最大时n的值．
【答案】
分析：（1）根据题意写出符合题意的式子．
（2）依题意得{a
n}是公比数为2的等比数列，计算出数列{a
n}的前n项和S
n
（3）根据题意计算出数列{b
n}的通项公式，计算出数列{b
n}前n项的积为T
n，当数列{b
n}前n项的积最大时n的值．
解答：解：（Ⅰ）如a
n=n
2．（答案不惟一，结果应为a
n=An
2+Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）
（Ⅱ）依题意a
n+1-a
n=2
n，n=1，2，3，
所以a
n=（a
n-a
n-1）+（a
n-1-a
n-2）+（a
n-2-a
n-3）++（a
2-a
1）+a
1=2
n-1+2
n-2+2
n-3++2=2
n．（5分）
从面{a
n}是公比数为2的等比数列，
所以
（7分）
（Ⅲ）由a
nb
nb
n+1=-21•2
n及a
n-1b
n-1b
n=-21•2
n，两式相除得
，
所以数列{b
2n-1}，{b
2n}分别是公比为
的等比数列
由b
4=-7得b
2=-14．
令n=1，由a
1b
1b
2=-21•2
n得b
1=3•2
6．
所以数列{b
n}的通项为
（10分）
②记数列{b
n}前n项的积为T
n．
令
，
即
所以当n是奇数时，|b
1b
2|＞1，|b
3b
4|＞1，，|b
11b
12|＞1，|b
13b
14|＜1，|b
15b
16|＜1，
从而|T
2|＜|T
4|＜|T
12|，|T
12|＞|T
14|＞．
当n是偶数时，|b
2b
3|＞1，|b
4b
5|＞1，，|b
12b
13|＞1，|b
14b
15|＜1，|b
16b
17|＜1，
从而|T
1|＜|T
3|＜|T
13|，|T
13|＞|T
15|．
注意到T
12＞0，T
13＞0，且T
13=b
13T
12=3T
12＞T
12，
所以当数列{b
n}前n项的积T
n最大时n=13．（14分）
点评：此题主要考查数列通项公式的求解及前n项积的求解．
（7分）
，
的等比数列
（10分）
，
应用题作业本系列答案
，数列{an}满足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），试判断an+1与an的大小，并证明之．
，数列{an}满足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），试判断an+1与an的大小，并证明之．