Question

已知函数f(x)=log3

3 x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

1

2

的点P满足2

OP

=

OM

+

ON

（O为坐标原点）．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*，n≥2令an=

1 6 ，n=1 1 4(Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．
（3）对于给定的实数a（a＞1）是否存在这样的数列{a_n}，使得f(an)=log3(

3

an+1)，且a1=

1

a-1

？若存在，求出a满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P点坐标为(

1

2

，yP)，由已知的向量关系得出x₁+x₂=1，利用对数运算即可求得y₁+y₂为定值；
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1．得出Sn=

n-1

2

，下面对n进行分类讨论：当n≥2时，当n=1时，得到：an=

1

n+1

-

1

n+2

(n∈N*)再利用数列求和得出Tn，结合T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立结合基本不等式即可求得m的取值范围；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在数列{a_n}满足条件，再利用等差数列的性质，求出a_n的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）设P点坐标为(

1

2

，yP)，由已知可得，

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)则(

1

2

，yP)=

1

2

(x1+x2，y1+y2)，
∴x₁+x₂=1y1+y2=log3

3 x1

1-x1

+log3

3 x2

1-x2

=log3

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=log3

3x1x2

1-1+x1x2

=1
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1.Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)…+f(

n-1

n

)，①Sn=f(

n-1

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)，②，
∴2S_n=n-1，故Sn=

n-1

2

当n≥2时，an=

1

4× n+1 2 × n+2 2

=

1

n+1

-

1

n+2

．
又当n=1时，a1=

1

6

=

1

2

-

1

3

，所以an=

1

n+1

-

1

n+2

(n∈N*)
故Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

n

2(n+2)

∵T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立．
∴m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

=

1

n+ 4 n +4

，而n+

4

n

+4≥8（当且仅当n=2时等号成立）
∴m＞

1

8

，即m的取值范围是(

1

8

，+∞)
（3）假设存在数列{a_n}满足条件，则log3(

3

an+1)=log3

3 an

1-an

，
即an+1=

an

1-an

⇒

1

an+1

=

1

an

-1，∴{

1

an

}是以

1

a1

=a-1为首项，-1为公差的等差数列，
于是

1

an

=a-1+(n-1)×(-1)=a-n，∴an=

1

a-n

，注意到an=

1

a-n

∈(0，1)
∴当a＞3时，存在这样的有穷数列{a_n}；当1＜a≤3时，不存在这样的数列．

点评：本小题主要考查等差数列的应用、数列与不等式的综合、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．