Question

如图2-3-34,矩形纸片AA′A₁′A₁,B、C、B₁、C₁分别为AA′、A₁A₁′的三等分点,将矩形纸片沿BB₁、CC₁折成正三棱柱,若面对角线AB₁⊥BC₁,求证:A₁C⊥AB₁.

                                                    图2-3-34

Answer 1

思路分析:补形法,恢复成一个直四棱柱.

证明:作AD∥BC,BD∥AC交于D,作A₁D₁∥B₁C₁,B₁D₁∥A₁C₁交于D₁,连结BD₁、DD₁.

∵A₁D₁B₁C₁为菱形,∴A₁B₁⊥D₁C₁.

又AA₁⊥平面A₁D₁B₁C₁,

∴AA₁⊥D₁C₁,从而D₁C₁⊥平面ABB₁A₁,

∴D₁C₁⊥AB₁.又AB₁⊥BC₁,∴AB₁⊥平面BC₁D₁,

∴AB₁⊥BD₁.∵BD₁∥CA₁,∴AB₁⊥A₁C.