Question

5．已知f（x）=$\frac{{-{2^x}+n}}{{{2^{x+1}}+m}}$是定义在R上的奇函数．
（1）求n，m的值；
（2）若对任意的c∈（-1，1），不等式f（4^c-2^c+1）+f（2•4^c-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出n的值，由f（1）+f（-1）=0，求出m的值，再检验即可；
（2）问题等价于f（t²-2t）＜f（2t²-k）=f（k-2t²），得到k＜3t²-2t，$t∈（\frac{1}{2}，2）$，根据二次函数的性质求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，即$\frac{n-1}{2+m}=0$，∴n=1，
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+m}}$，又f（1）+f（-1）=0，
∴$\frac{1-2}{4+m}+\frac{{1-\frac{1}{2}}}{1+m}=0$，∴m=2．
检验：当m=2，n=1时，满足f（-x）=-f（x），
即f（x）是R上的奇函数．
（2）由（1）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
易知f（x）在R上为减函数，
令2^c=t，因为c∈（-1，1），故$t∈（\frac{1}{2}，2）$，
又f（x）是奇函数，∴f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
等价于f（t²-2t）＜f（2t²-k）=f（k-2t²）
又因f（x）为减函数，由上式推得t²-2t＞k-2t²，
即对一切$t∈（\frac{1}{2}，2）$，有3t²-2t-k＞0恒成立，
∴k＜3t²-2t，$t∈（\frac{1}{2}，2）$，
令y=3t²-2t，$t∈（\frac{1}{2}，2）$，
计算得$y∈（-\frac{1}{4}，8）$，
即$k≤-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的单调性以及转化思想，考查二次函数的性质，是一道中档题．