Question

(Ⅰ)已知函数f(x)=-3x²+6x-2.S_n是数列{a_n}的前n项和，点(n，S_n)(n∈N^*)在曲线y=f(x)+2上，求a_n；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若b_n=()^n-1，c_n=，且T_n是数列{c_n}的前n项和．试问T_n是否存在最大值?若存在，请求出T_n的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)点(n,S_n)在曲线y=f(x)+2上，所以S_n=-3n²+6n.

当n=1时，a₁=S₁=3,当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=9-6n,

∴a_n=9-6n. 

(Ⅱ)∵b_n=()^n-1,

c_n=a_nb_n=()^n-1=(3-2n)()ⁿ,

∴T_n=c₁+c₂+…+c_n

=-()²+…+(3-2n)()ⁿ.

利用错位相减法，∴T_n=(2n+1)()ⁿ-1. 

∵T_n+1=(2n+1)()ⁿ＞0,T_n+1+1

=(2n+3)()ⁿ⁺¹＞0,

∵＞1, 

∴T_n+1+1＜T_n+1,

∴T_n+1＜T_n＜…＜T₁=.

存在最大值T₁=.