Question

17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

   (Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)若直线l₁：x＝m(|m|＞1)，P为l₁上的动点，使∠F₁PF₂最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

Answer 1

17.解：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1(a>b>0),半焦距c，则

|MA₁|=－a，|A₁F₁|=a－c，

由题意，得

∴a=2,b=,c=1

故椭圆方程为

（Ⅱ）设P(m,y₀)，|m|>1,

当y₀=0时，∠F₁PF₂=0，

当y₀≠0时，0<∠F₁PF₂<∠P F₁M<,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可。

设直线PF₁的斜率k₁=，

直线PF₂的斜率k₂=，

∴tan∠F₁PF₂==

             ≤=

当且仅当=|y₀|时，∠F₁PF₂最大，

∴Q（m,±），|m|>1.