Question

用数学归纳法证明4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除，其中n∈N^*.

Answer 1

证明:(1)当n=1时，4^2×1+1+3¹⁺²=91能被13整除.

(2)假设当n=k时，4^2k+1+3^k+2能被13整除，则当n=k+1时，

4^2(k+1)+1+3^k+3=4^2k+1·4²+3^k+2·3－4^2k+1·3+4^2k+1·3=4^2k+1·13+3·(4^2k+1+3^k+2).

∵4^2k+1·13能被13整除，4^2k+1+3^k+2能被13整除,

∴当n=k+1时也成立.

由(1)(2)知，当n∈N^*时，4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除.