Question

函数f(x)＝x²－2x＋3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，求a的范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：由于函数f(x)＝x2－2x＋3的图象开口向上，对称轴为直线x＝1． 　　(1)当0＜a≤1时，因为x∈[0，a]，所以函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的图象如图所示，所以函数f(x)在[0，a]上单调递减，∴即解得a＝1符合题意． 　　(2)当1＜a≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的图象如图所示，∴所以1＜a≤2满足条件． 　　(3)当a＞2时，函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的图象如图所示，∴ymax＝f(a)＞3，所以a＞2不符合题意． 　　综上所述，a的取值范围为1≤a≤2． 　　点评：本题在作出示意图后，可以发现在[0，a]上的抛物线弧实际上是从点(0，3)开始向右，直到x＝a时结束的一段曲线，由于函数的最小值为2，最大值为3，所以曲线段的右端点的横坐标必须介于1和2之间(包括端点)，所以可以直接得到a的取值范围为1≤a≤2．通过这个简单方法，可以使学生更加体会到数形结合思想在解决数学问题中的重要作用，有条件的学校可以通过多媒体教学来使得学生有更加直观的认识．

提示：

这是抛物线弧中涉及定对称轴和动区间的问题，最值在何时取要根据图象来看，所以我们要先作出符合条件的示意图，[0，a]上的一段用实线作出，不能取到的部分用虚线表示，再根据图象，确定何时取最大值，何时取最小值，再由条件最大值为3，最小值为2，列出方程组，求出a．