Question

已知关于x的方程

x

a

+

b

x

=1，其中a，b为实数．
（1）若x=1-

3

i是该方程的根，求a，b的值；
（2）当

b

a

＞

1

4

且a＞0时，证明：该方程没有实数根．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,函数的零点与方程根的关系,复数代数形式的混合运算

专题：推理和证明

分析：（1）把x=1-

3

i代入方程，利用复数相等的充要条件列出方程组，即可求a，b的值；
（2）化简原方程为二次函数的形式，利用反证法，假设方程有实数根，通过韦达定理，结合

b

a

＞

1

4

且a＞0，推出矛盾结论，即可证明：该方程没有实数根．

解答： 解：（1）将x=1-

3

i代入

x

a

+

b

x

=1，化简得(

1

a

+

b

4

)+(

3

4

b-

3

a

)i=1
所以

1 a + b 4 =1 3 4 b- 3 a =0

所以a=b=2…（6分）
（2）证明：原方程化为x²-ax+ab=0
假设原方程有实数解，那么△=（-a）²-4ab≥0即a²≥4ab
因为a＞0，所以

b

a

≤

1

4

，这与题设

b

a

＞

1

4

矛盾
所以假设错误，原方程有实数根正确．…（12分）

点评：本题考查复数方程的应用复数相等，以及反证法证明问题的基本方法，考查逻辑推理能力以及计算能力．