Question

已知圆C₁：（x+3）²+y²=1和圆C₂：（x-3）²+y²=9，动圆M同时与圆C₁及圆C₂相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

分析：设动圆圆心M（x，y），动圆M与C₁、C₂的切点分别为A、B，则|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|，从而可得|MC₂|-|MC₁|=2，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．

解答：解：设动圆圆心M（x，y），动圆M与C₁、C₂的切点分别为A、B，则|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|．
又∵|MA|=|MB|，
∴|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2，
即|MC₂|-|MC₁|=2，又∵|C₁C₂|=6，
由双曲线定义知：动点M的轨迹是以C₁、C₂为焦点，中心在原点的双曲线的左支．
∵2a=2，2c=6，∴a=1，c=3，
∴b²=8．
∴动点M的轨迹方程为x²-

y2

8

=1（x≤-1）．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．