Question

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4．沿直线EF将△AEF翻折成△EF，使平面EF⊥平面BEF．

(Ⅰ)求二面角－FD－C的余弦值；

(Ⅱ)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与重合，求线段FM的长．

Answer 1

答案：
解析：

本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力． 　　(Ⅰ)解：取线段EF的中点H，连结，因为＝及H是EF的中点，所以， 　　又因为平面平面． 　　如图建立空间直角坐标系A－xyz 　　则(2，2，)，C(10，8，0)， 　　F(4，0，0)，D(10，0，0)． 　　故＝(－2，2，2)，＝(6，0，0)． 　　设＝(x，y，z)为平面的一个法向量， 　　 　　取，则． 　　又平面的一个法向量， 　　故． 　　所以二面角的余弦值为 　　(Ⅱ)解：设则， 　　因为翻折后，与重合，所以， 　　故，，得， 　　经检验，此时点在线段上， 　　所以． 　　方法二： 　　(Ⅰ)解：取线段的中点，的中点，连结． 　　因为＝及是的中点， 　　所以 　　又因为平面平面， 　　所以平面， 　　又平面， 　　故， 　　又因为、是、的中点， 　　易知∥， 　　所以， 　　于是面， 　　所以为二面角的平面角， 　　在中，＝，＝2，＝ 　　所以． 　　故二面角的余弦值为． 　　(Ⅱ)解：设， 　　因为翻折后，与重合， 　　所以， 　　而， 　　 　　得， 　　经检验，此时点在线段上， 　　所以．