Question

已知函数f(x)=log_a,(a＞0且a≠1).

(Ⅰ)判定f(x)的单调性，并证明；

(Ⅱ)设g(x)=1+log_a(x-1)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围；

(Ⅲ)求函数h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-在[4,6]上的最大值和最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由＞0,得x＜-3或x＞3,

    任取x₁＜x₂＜-3.

    则f(x₁)-f(x₂)=log_a-log_a=log_a.

∵(x₁-3)(x₂+3)-(x₁+3)(x₂-3)=10(x₁-x₂)＜0，

    又(x₁-3)(x₂+3)＞0且(x₁+3)(x₂-3)＞0，

0＜＜1,

∴当a＞1时,f(x₁)-f(x₂)＜0,

∴f(x)单调递增，

    当0＜a＜1时，f(x₁)-f(x₂)＞0,

∴f(x)单调递减.

（Ⅱ）若f(x)=g(x)有实根，即：log_a =1+log_a(x-1).

∴x＞3.

∴即方程：=a(x-1)有大于3的实根.

a=(∵x＞3)

=≤.

“=”当且仅当x-3=即当x=3+2时成立，∴a∈(0,).

(Ⅲ)h(x)=f(x)ln_a+ln(x+3)-=ln(x-3)-.

h′(x)=,由=0有x²-3x-4=0,解得x₁=4;x₂=-1(舍去).

    当x∈[4,6]时，h′(x)＜0,h(x)单调递减；

    所以函数h(x)在[4,6]上的最小值为h(6)=ln3-4，最大值为h(4)=-2.