Question

已知数列{a_n}的前n项和（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在中，令n=1，得．当n≥2时，，所以，由b_n=2ⁿa_n，知b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由，知，由错位相减法能够求出T_n的值．
解答：解：（1）在中，
令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，
即
当n≥2时，，
∴，
∴．
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1，
即当n≥2时，b_n-b_n-1=1．
又b₁=2a₁=1，
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴．
（2）由（1）得，
所以
由①-②得

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．