Question

知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x是偶函数．

（Ⅰ）求m、n的值；

（Ⅱ）若a＞0，求函数y=f（x）在区间（a-1,a+1）内的极值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由函数f（x）图象过点（-1，-6）,得m-n=-3,①…………………………1分

由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,………………………………………2分

则g（x）=f′（x）+6x=3x²+（6+2m）x+n;

而g（x）图象关于y轴对称，所以-=0，所以m=-3,

代入①得n=0．………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2）,

令f′（x）=0得x=0或x=2．…………………………………………………………5分

当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞,0）	0	（0,2）	2	…………8分   （2,+∞）
f′（x）	+	0	-	0
f（x）		极大值		极小值

由此可得:

当0＜a＜1时,f（x）在（a-1,a+1）内有极大值f（0）=-2,无极小值;

当a=1时,f（x）在（a-1,a+1）内无极值;

当1＜a＜3时,f（x）在（a-1,a+1）内有极小值f（2）=-6,无极大值;

当a≥3时,f（x）在（a-1,a+1）内无极值．…………………………………………11分

综上得：当0＜a＜1时，f（x）有极大值-2，无极小值，当1＜a＜3时，有极小值-6，无极大值，当a=1或a≥3时，f（x）无极值．…………………………………………12分