Question

已知函数f(x)=log_ax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.

Answer 1

a的取值范围是：(1，3］∪［，1）

解析:

当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.

所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log_ax在［3，+∞）上为增函数，

∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log_a3.                                4分

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.

只要log_a3≥1=log_aa即可，∴1＜a≤3.                                       6分

当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,

∴|f(x)|=-f(x).                                                         8分

∵f（x）=log_ax在［3，+∞）上为减函数，

∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.

∴对于任意x∈［3，+∞）都有

|f(x)|=-f(x)≥-log_a3.                                                     10分

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，

只要-log_a3≥1成立即可，

∴log_a3≤-1=log_a,即≤3,∴≤a＜1.                                     12分

综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）.   14分