Question

正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱长为2，点P是侧棱AA₁上任意一点.

（1）求证:B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直；

（2）当BC₁⊥B₁P时，求线段AP的长；

（3）在（2）的条件下，求二面角C—B₁P—C₁的大小.

Answer 1

（1）证明:连结B₁P，假设B₁P⊥平面ACC₁A₁，则B₁P⊥A₁C₁.由于三棱柱ABC—A₁B₁C₁为正三棱柱，∴AA₁⊥A₁C₁.

∴A₁C₁⊥侧面ABB₁A₁.

∴A₁C₁⊥A₁B₁，即∠B₁A₁C₁=90°,这与△A₁B₁C₁是等边三角形矛盾.

∴B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直.

（2）解:

    取A₁B₁中点D，连结C₁D、BD、BC₁，则C₁D⊥A₁B₁.

    又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

∴AA₁⊥C₁D.∴C₁D⊥平面ABB₁A₁.

∴BD是BC₁在平面ABB₁A₁上的射影.

∵BC₁⊥B₁P,∴BD⊥B₁P.

∴∠B₁BD=90°-∠BB₁P=∠A₁B₁P.

    又∵A₁B₁=B₁B=2，∴△BB₁D≌△B₁A₁P.∴A₁P=B₁D=1.∴AP=1.

（3）解:连结B₁C交BC₁于点O，则BC₁⊥B₁C，

    又∵BC₁⊥B₁P,∴BC₁⊥平面B₁CP.

    过O在平面CPB₁上作OE⊥B₁P交B₁P于点E，连结C₁E,则B₁P⊥C₁E，

∴∠OEC₁是二面角C—B₁P—C₁的平面角.

    由于CP=B₁P=，O为B₁C的中点，连结OP，∴PO⊥B₁C.

∴OP·OB₁=OE·B₁P.

∴OE=.

∴tan∠OEC₁=.

∴∠OEC₁=arctan,即二面角C—B₁P—C₁的大小为arctan.