Question

设数列{a_n}、{b_n}满足b_n＝a_n－a_n+1，(n＝1，2，3，…)．

(Ⅰ)求证：数列{b_n}是等差数列；

(Ⅱ)当b₂－b₁＝－2时，求证：…＋＜．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由(n＝1，2，3，…)， 　　可得(n＝1，2，3，…)　① 　　∴　② 　　①－②，可得，又， 　　∴， 　　即(n＝1，2，3，…)　③ 　　∴　④ 　　④－③，可得，即， 　　∴(n＝1，2，3，…)，∴数列是等差数列． 　　[另法提示：由③可得，令，故，利用累加法求出，从而可得＝，然后再证明是等差数列] 　　(Ⅱ)由(1)可知数列是等差数列，由b2＝b1－2知公差为d＝－2＝，＝－3，所以　代入可求得　记…＋， 　　当时，；当时，； 　　当时，∵， 　　∴… 　　… 　　．故对一切n，都有． 　　所以对一切n，都有…＋＜． 　　[另法提示：一、当时，；当时，由 　　．∴… 　　…． 　　二、当n＝1，2，3，4，5时，直接进行验证；当时，由， 　　∴… 　　]