Question

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}中，a₁=a，

an+1

an

=a（n∈N^*），令b_n=a_n•log₂a_n．
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若b_n+1＞b_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）数列{a_n}是首项为a、公比为a的等比数列，从而可得数列{a_n}、{b_n}的通项，利用错位相减法，可求数列的和；
（2）b_n+1＞b_n，等价于（n+1）aⁿ⁺¹•log₂a＞naⁿ•log₂a，对a分类讨论，即可确定a的取值范围．

解答：解：（1）∵a₁=a，

an+1

an

=a（n∈N^*），
∴数列{a_n}是首项为a、公比为a的等比数列，
∴an=an
∴b_n=a_n•log₂a_n=aⁿ•log₂aⁿ=naⁿ•log₂a．
∵a=2，
∴b_n=n•2ⁿ•log₂2=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=1×2²+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹；
（2）∵b_n+1＞b_n，
∴（n+1）aⁿ⁺¹•log₂a＞naⁿ•log₂a．
当a＞1时，log₂a＞0，∴（n+1）a＞n，∴a＞

n

n+1

，
∵

n

n+1

=1-

1

n+1

＜1，而a＞1，
∴a＞1时，a＞

n

n+1

成立，即b_n+1＞b_n．
当0＜a＜1时，log₂a＜0，∴（n+1）a＜n，∴a＜

n

n+1

，
∵

n

n+1

=1-

1

n+1

单调递增，
∴n=1时，(

n

n+1

)min=

1

2

∴0＜a＜

1

2

时，a＜

n

n+1

成立，即即b_n+1＞b_n．
综上得，a的取值范围是（0，

1

2

）∪（1，+∞）．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．