Question

某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量．(单位：百台)

(1)把利润表示成年产量的函数；

(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？

(3)年产量是多少时，工厂才不亏本？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当x≤5时，产品能全部售出；当x＞5时，只能售出500台，故利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝ 　　＝ 　　(2)当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－0.5， 　　当x＝4.75时，L(x)max＝10.781 25(万元)． 　　当x＞5时，L(x)＜12－1.25＝10.75(万元)． 　　所以生产475台时利润最大． 　　(3)由或得 　　5≥x≥4.75＝0.11(百台)，或5＜x＜48(百台)． 　　所以产品年产量在11台到4 800台时，工厂不亏本．

提示：

由于受销售量的限制，故求解本题时，应该考虑到生产的产品能否全部卖完，即需要进行分类讨论，通过分段函数问题求解．