Question

设f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c的两个极值点分别是x₁，x₂，若x₁∈（-2，-1），x₂∈（-1，0），则2a+b的取值范围是（　　）

A、（1，7）

B、（2，7）

C、（1，5）

D、（2，5）

Answer 1

分析：求导函数，利用f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（-2，-1），x₂∈（-1，0），建立不等式，利用平面区域，即可求2a+b的取值范围．

解答：解：由题意，f′（x）=x²+ax+2b．
∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（-2，-1），x₂∈（-1，0）
∴

f′(-2)=4-2a+2b＞0 f′(-1)=1-a+2b＜0 f′(0)=2b＞0

，
对应的平面区域如图所示，三个顶点坐标为（1，0），（2，0），（3，1），则
在（1，0）处，2a+b2，在（3，1）处，2a+b=7，
∴2a+b的取值范围是（2，7）．
故选B．

点评：本题考查导数知识的运用，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．