Question

如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求正方形ABCD的边长；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1） AE是圆柱的母线底面BEFC,                   …… 1分

又面BEFC                                    …… 2分

又ABCD是正方形

又面ABE                                 …… 3分

又面ABE                                     …… 4分

（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形 EFBC          

四边形EFBC为矩形  BF为圆柱下底面的直径           …… 1分      

设正方形ABCD的边长为，则AD=EF=AB=

在直角中AE=2，AB=，且BE²+AE²= AB²，得BE²=²-4        

在直角中BF=6，EF=，且BE²+EF²= BF²，的BE²=36-²               …… 2分

解得=，即正方形ABCD的边长为                        …… 3分

（3）解法一：如图以F为原点建立空间直角坐标系,

则A(，0，2),B(，4，0),E(，0，0),(，0， 2),(，4，0), (，0，0)           …… 1分

设面AEF的法向量为(，，)，则

                                                                 … 3分

令，则即(，，)               …… 4分

设直线与平面所成角的大小为，则

   …… 6分

所以直线与平面所成角的正弦值为。                …… 7分

解法二：如图以E为原点建立空间直角坐标系,

则A(0，0，2),B(4，0，0),F(0，，0),

(-4，，0), (0，，-2),

(0，，0)            …… 1分

设面AEF的法向量为(，，)，则

         …… 3分

令，则即(，，)               …… 4分

设直线与平面所成角的大小为，则

   …… 6分

所以直线与平面所成角的正弦值为。                …… 7分