Question

已知函数f(x)=.

(1)证明函数f(x)在定义域上有反函数,并求出反函数;

(2)反函数的图象与直线y=x有无交点?

Answer 1

(1)证明:∵f(x)的定义域为正实数集,

∴当0＜x₁＜x₂时,f(x₁)-f(x₂)=()-()=()(1+)＜0.

∴f(x₁)＜f(x₂),即f(x)在(0,+∞)上是增函数.

∴f(x)有反函数.当x∈(0,+∞)时,∈(-∞,+∞).∴反函数的定义域为R.

由y=,得x-y-1=0.

解得=.∵y＜,

∴y-＜0.而＞0,

∴=,x=(y+)².

∴f^-1(x)=(x+)²(x∈R).

(2)解：y=f^-1(x)与y=f(x)的图象关于y=x对称,故只需判断y=f(x)与y=x有无交点.

由得x=.

∴x(1-)=1.

当0＜x＜1时,0＜1-＜1.∴0＜x(1-)＜1,此时方程无实数根.

当x≥1时,x(1-)≤0,方程无实根.

∴y=f(x)与y=x无交点.

从而y=f^-1(x)与y=x无交点.