Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，．

（Ⅰ）求a_n与b_n；

（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：

等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．

专题：

综合题；等差数列与等比数列．

分析：

（1）根据b₂+S₂=12，{b_n}的公比，建立方程组，即可求出a_n与b_n；

（2）由a_n=3n，bn=3n﹣1，知c_n=a_n•b_n=n•3ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：

解：（1）∵在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，

等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，．

∴b₂=b₁q=q，，（3分）

解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a₂=6（5分）

∴a_n=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1．（7分）

（2）∵a_n=3n，bn=3n﹣1，

∴c_n=a_n•b_n=n•3ⁿ，

∴数列{c_n}的前n项和

T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，

∴3T_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹，

∴﹣2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ﹣n×3ⁿ⁺¹

=﹣n×3ⁿ⁺¹

=﹣n×3ⁿ⁺¹，

∴T_n=×3ⁿ⁺¹﹣．

点评：

本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用．