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(本小题满分14分)

Monte-Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用。下面是利用Monte-Carlo方法来计算定积分。考虑定积分,这时等于由曲线,轴,所围成的区域M的面积,为求它的值,我们在M外作一个边长为1正方形OABC。设想在正方形OABC内随机投掷个点,若个点中有个点落入中,则的面积的估计值为,此即为定积分的估计值I。向正方形中随机投掷10000个点,有个点落入区域M

(1)若=2099,计算I的值,并以实际值比较误差是否在5%以内

(2)求的数学期望

(3)用以上方法求定积分,求I与实际值之差在区间(—0.01,0.01)的概率

附表:

n

1899

1900

1901

2099

2100

2101

P(n)

0.0058

0.0062

0.0067

0.9933

0.9938

0.9942

解: (1)若=2099,则

而=                        …………………………2分

 ∴估计值与实际值的误差为:

即估计值与实际值的误差在5%以内              ………………………4分

(2)由题意,每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2, 投掷10000个点有个点落入区域M内,则                    …………………………7分

    ∴                   …………………………9分

(3)I与实际值之差在区间(—0.01,0.01)的概率为

=0.9871                  …………………………14分

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3
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π
4
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π
4
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.
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