Question

已知函数f(x)=lnx+

a

x-1

在（2，+∞）内有极值．
（Ⅰ） 求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若x∈（0，1），y∈（1，+∞），求证：2f（x）+4ln2＜2f（y）-3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，由题意知，f′（x）=0在（2，+∞）内有解，进一步可得g（2）＜0，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 利用导数的正负，确定函数的单调性，证明f（y）-f（x）≥f（x₂）-f（x₁），利用韦达定理即可得出结论．

解答：（Ⅰ）解：由题意，0＜x＜1或x＞1时，f′(x)=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(a+2)x+1

x(x-1)2

．
由题意知，f′（x）=0在（2，+∞）内有解，
令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-x₁）（x-x₂），
不妨设x₁＞2，由x₁x₂=1知0＜x1＜

1

2

，
∴g（2）＜0，即2²-2（a+2）+1＜0，
∴a＞

1

2

；
（Ⅱ）证明：由f′（x）＞0得0＜x＜x₁或x＞x₂；由f′（x）＜0得x₁＜x＜1或1＜x＜x₂；
∴函数f（x）在（0，x₁）内递增，在（x₁，1）内递减；函数f（x）在（1，x₂）内递减，在（x₂，+∞）内递增，
∴当x∈（0，1）时，f(x)≤f(x1)=lnx1+

a

x1-1

；
当y∈（1，+∞）时，f(x)≥f(x2)=lnx2+

a

x2-1

；
∴f（y）-f（x）≥f（x₂）-f（x₁）…．（3分）
又∵x₁x₂=1，x₁+x₂=a+2，
∴f(x2)-f(x1)=(lnx2+

a

x2-1

)-(lnx1+

a

x1-1

)=lnx2-lnx1+

x1+x2-2

x2-1

-

x1+x2-2

x1-1

=2lnx2+x2-

1

x2

记h(x)=2lnx+x-

1

x

，则h′(x)=

2

x

+1+

1

x2

，
∴当x∈（0，+∞）时，h'（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
由x₂＞2，知h(x2)＞h(2)=2ln2+

3

2

，即2lnx2+x2-

1

x2

＞2ln2+

3

2

，
∴f(x2)-f(x1)＞2ln2+

3

2

，
∴f(y)-f(x)＞2ln2+

3

2

，即2f（x）+4ln2＜2f（y）-3

点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．