Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,a₁=,且2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1(n≥2,n∈N^*).数列{b_n}满足b₁=,且3b_n-b_n-1=n(n≥2,n∈N^*).

(1)求证:数列{a_n}为等差数列;

(2)求证:数列{b_n-a_n}为等比数列;

(3)求数列{b_n}的通项公式以及前n项和T_n.

Answer 1

(1)证明:由a_n+1=2a_n-a_n-1(n≥2,n∈N^*),

可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1(n≥2).

即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁.

可知数列{a_n}为等差数列.

(2)证明:∵{a_n}为等差数列,

∴公差d=a₂-a₁=.

∴a_n=a₁+(n-1)×=n.

又3b_n-b_n-1=n(n≥2),

∴b_n=b_n-1+n(n≥2).

∴b_n-a_n=b_n-1+nn+=b_n-1n+

=(b_n-1n+)

=［b_n-1(n-1)+］

=(b_n-1-a_n-1).

又b₁-a₁≠0,

∴对n∈N^*,b_n-a_n≠0,

得=(n≥2).

∴数列{b_n-a_n}是公比为的等比数列.

(3)解:由(2)得b_n-a_n=·()^n-1,

∴b_n=+·()^n-1(n∈N^*).

∵b₁-a₁+b₂-a₂+…+b_n-a_n=,

∴b₁+b₂+…+b_n-(a₁+a₂+…+a_n)= ［1-()ⁿ］.

∴T_n=［1-()ⁿ］.

∴T_n=+［1-()ⁿ］(n∈N^*).