Question

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为B₁C₁，C₁D₁的中点.

(Ⅰ)求证BE，DF，CC₁三条直线交于一点；

(Ⅱ)求面BDE和面CDC1所成的角；

(Ⅲ)求点C到面DBEF的距离；

(Ⅳ)求截面DBEF将正方体分成的体积比.

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)∵EF∥BD且EF=BD，∴四边形DBEF为梯形，则BE，DF相交于一点，设为点P，又BE平面B₁BCC₁，DF平面DCC₁D₁，且平面B₁BCC₁∩平面DCC₁D₁=CC₁，由公理2知P∈CC₁，即BE，DF，CC₁，三条直线交于一点P，得证.

(Ⅱ)法一：扩展面补棱作二面角的平面角，过C₁作C₁M⊥PF于M，连接ME⊥PF，如图，面BDE和面DC₁，扩展补棱PD.由三垂线定理和二面角平面角的定义知，∠C₁ME为其平面角，易求为arctan；

法二：借助向量的夹角求解，面BDE和面CDC₁的交线为DF，过B作BK⊥DF于K，过C作CQ⊥DF于Q，易得BK=，CQ=，KQ=0，BC=1

∴()²=()²=||²+||²+||²+2||·||·cos

∴所求二面角的大小为arccos.

(Ⅲ)法一：直作距离，易知对角面ACC₁A₁⊥DBEF，其交线如图为MG，且知M，G分别为EF，DB的中点，过F在对角面内作CH⊥MG于H，由面面垂直的性质定理，点C到面EFDB的距离，易知M在下底面上的射影恰为CG的中点，于是有，∴CH=为点C到面DBEF的距离.

法二：空间向量法，以点A为原点，AB，AD，AA₁所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(1，，1)，C(1，1，0)，则(-1，1，0)，=(0，，1)，设CH⊥面DBEF于H，设平面DBEF的法向量n=(x，y，z)，由，取y=1，则n=(1，1，)，

又(1，1，0)(O为下底面中心)，设与n的夹角为θ，则cosθ=，于是·cosθ=.

(Ⅳ)由以上讨论可知几何体DBC-FEC₁为两个三棱锥的体积之差，易求V_P-DBC=，=V_P-DBC，则，故所求两部分的体积比为.