Question

如图所示，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，AB=l，BC=2，D为BC的中点．直线l过点A垂直于平面ABC，P是l上异于A的点．

证明：(1)P在l上运动时，恒有∠BPD＜∠BAD；

(2)P在l上运动时，∠CPD＜∠CAD并不恒成立．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：(1)因为PA⊥平面ABC所以PA⊥CB，又因为CB⊥AB，PA∩AB=A所以CB⊥面PAB，所以CB⊥PB，于是，而这两个角都是锐角，所以∠BPD＜∠BAD． (2)∠CPD、∠CAD都是锐角，故∠CPD＜∠CADcos∠CPD＞cos∠CAD． 要证cos∠CPD＞cos∠CAD不恒成立，也就是要证明存在点P，使得cos∠CPD≤cos∠CAD成立． 令PA=x≠0，在Rt△PAB中，， 在Rt△PBD中，，在Rt△PBC中，，在△PCD中，由余弦定理可得，在△ADC中，易求，故只要证明不等式有非零解即可，而它等价于，显然有非零解，故P在l上运动时，∠CPD＜∠CAD并不恒成立．