Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和，AP=2，E，F依次是PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEFD；
（Ⅱ）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥PA，结合AD⊥AB，得AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB，最后根据△PAB中，中线AE⊥PB且AE、AD是平面AEFD内的相交直线，证出PB⊥平面AEFD；
（II）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，结合（I）求出的数据，得到A、B、C、D、E、F、P各点坐标，从而得到=（1，4，-1）和平面PAD的一个法向量=（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式算出与夹角的余弦之值，即为EC与平面PAD所成角的正弦值．
解答：解：（I）∵PA⊥平面ABCD，直线AB是PB在平面ABCD内的射影
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得Rt△PAB中，tan∠PBA==1，可得AB=AP=2
同理，∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，得Rt△PAD中，tan∠PDA==，可得AD=2AP=4
∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AD⊥PA
∵矩形ABCD中，AD⊥AB，且AD∩AP=A，∴AD⊥平面PAB
∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB
又∵Rt△PAB中，AB=AP，且E为PB中点，∴PB⊥AE
∵AD、AE是平面AEFD内的相交直线，
∴PB⊥平面AEFD；       …（6分）
（II）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由（I）知AD=4、AB=2，则各点坐标分别是
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
P（0，0，2），
∴E（1，0，1），F（1，2，1），=（1，4，-1），
又∵AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的一个法向量为==（2，0，0），
设直线EC与平面PAD所成的角为α，则
sinα===，
∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为．…（13分）
点评：本题在四棱锥中，证明了线面垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了用空间向量求直线与平面的夹角和直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．