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求函数y=(a>0,a≠1)的单调区间.

解析:设μ=-x2+3x+2=,∴y=aμ.

    当x∈(-∞,],时,μ(x)是增函数;

    当x∈[,+∞)时,μ(x)是减函数;

    故当a>1时,y(μ)是增函数,那么在区间(-∞,]上,函数y=递增;

    当0<a<1时,y(μ)是减函数,

    ∴当0<a<1时,函数y=在区间[,+∞)上递增.

    ∴当a>1时,增区间为(-∞,];

    当0<a<1时,增区间为[,+∞).

    同理可知:当a>1时,y=的减区间为[,+∞);

    当0<a<1时,y=的减区间为(-∞,].


练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(理科做)
阅读下面题目的解法,再根据要求解决后面的问题.
阅读题目:对于任意实数a1,a2,b1,b2,证明不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
证明:构造函数f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22=(a12+a22)x2+2(a1b1+a2b2)x+(b12+b22).
注意到f(x)≥0,所以△=[2(a1b1+a2b2)]2-4(a12+a22)(b12+b22)≤0,
即(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
(其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0,即a1b2=a2b1.)
问题:(1)请用这个不等式证明:对任意正实数a,b,x,y,不等式
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
成立.
(2)用(1)中的不等式求函数y=
2
x
+
9
1-2x
(0<x<
1
2
)
的最小值,并指出此时x的值.
(3)根据阅读题目的证明,将不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22)进行推广,得到一个更一般的不等式,并用构造函数的方法对你的推广进行证明.

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