Question

1．已知$sinβ=\frac{1}{3}\;，\;\;sin（α-β）=\frac{3}{5}$，其中α，β均为锐角．
（1）求cos2β的值；
（2）求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦公式求出cos2β的值；
（2）由sin（α-β）=$\frac{3}{5}$求出cos（α-β）的值，再由sinβ=$\frac{1}{3}$求出cosβ的值；利用sinα=sin[（α-β）+β]求出运算结果．

解答 解：（1）∵sinβ=$\frac{1}{3}$，
∴cos2β=1-2sin²β=1-2×${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{7}{9}$；
（2）∵α、β为锐角，
∴$α-β∈（{-\frac{π}{2}\;，\;\;\frac{π}{2}}）$；
又sin（α-β）=$\frac{3}{5}$，
∴cos（α-β）=$\sqrt{1{-（\frac{3}{5}）}^{2}}$=$\frac{4}{5}$；
又sinβ=$\frac{1}{3}$，
∴cosβ=$\sqrt{1{-（\frac{1}{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=$\frac{3}{5}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{3}$
=$\frac{6\sqrt{2}+4}{15}$．

点评 本题考查了三角恒等变换与同角的三角函数关系应用问题，是基础题．