Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为3$\sqrt{2}$的正方形，AA₁=3，E是线段A₁B₁上一点，若二面角A-BD-E的正切值为3，则三棱锥A-A₁D₁E外接球的表面积为35π．

Answer 1

分析 过E作EF∥AA₁．交AB与F，过F作FG⊥DB于G，则∠EGF就是二面角A-BD-E的平面角，由tan∠EGF=3，可得FG=1，求出三棱锥A-A₁D₁E外接球的直径即可

解答 解：过E作EF∥AA₁．交AB与F，过F作FG⊥DB于G，
则∠EGF就是二面角A-BD-E的平面角，∵tan∠EGF=$\frac{EF}{FG}=3$，
∴FG=1，则BF=$\sqrt{2}$，∴$AF=2\sqrt{2}$，
∴三棱锥A-A₁D₁E外接球的直径为$\sqrt{8+9+18}=\sqrt{35}$，
∴外接球的表面积为35π．
故答案为：35π．

点评 本题考查了三棱锥的外接球的表面积，关键是找到动点位置，求出半径，属于中档题．