Question

11．已知公差为2的等差数列{a_n}及公比为2的等比数列{b_n}满足a₁+b₁＞0，a₂+b₂＜0，设m=a₄+b₃，则实数m的取值范围是（-∞，0）．

Answer 1

分析 运用等差数列和等比数列的通项公式，可得a₁+2b₁＜-2，m=a₄+b₃=a₁+6+4b₁，可令a₁+4b₁=k（a₁+b₁）+l（a₁+2b₁）=（k+l）a₁+（k+2l）b₁，运用恒等思想，可得k，l的方程，解方程可得k，l，再由不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：a₁+b₁＞0，a₂+b₂＜0，
即为a₁+2+2b₁＜0，
即a₁+2b₁＜-2，
由m=a₄+b₃=a₁+6+4b₁，
可令a₁+4b₁=k（a₁+b₁）+l（a₁+2b₁）=（k+l）a₁+（k+2l）b₁，
由$\left\{\begin{array}{l}{k+l=1}\\{k+2l=4}\end{array}\right.$解得k=-2，l=3，
即有a₁+4b₁＜0-6=-6，
则m=a₁+6+4b₁＜0．
故答案为：（-∞，0）．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查不等式的性质和待定系数法的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．