Question

设a、b∈R且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4,求|a|+|b|的最大值.

Answer 1

解析：|a+b|=|(a+b+1)-1|

≤|a+b+1|+|-1|

≤1+1=2,

|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|

≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5

≤3×1+2×4+5=16.

(1)当ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|≤2;

(2)当ab＜0时,则a(-b)＞0,

|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|≤16.

总之,恒有|a|+|b|≤16.

而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16.

因此|a|+|b|的最大值为16.