Question

如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：
（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PCD⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（1）连结BD，AC交于O，连结EO．可证出△PBD中，EO是中位线，得EO∥PB，结合线面平行的判定定理，即可证出PB∥平面AEC；
（2）由线面垂直的性质，证出CD⊥PA．正方形ABCD中证出AD⊥CD，结合PA∩AD=A，可得CD⊥平面PAD，最后根据面面垂直判定定理，即可证出平面PAD⊥平面PCD．

解答：解：（1）连结BD，AC交于O．
∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=

1

2

AC
连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA
又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
∵CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD

点评：本题在四棱锥中证明线面平行，并且证明面面垂直．着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．