Question

某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.

(1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?

(2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210 t时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.

Answer 1

解:(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉,其购买量为6x t,由题意知,面粉的保管等其他费用为

3［6x+6(x-1)+…+6×2+6×1］=9x(x+1).

    设平均每天所支付的总费用为y₁元,则y₁=［9x(x+1)+900］+6×1 800

    =+9x+10 809≥2+10 809=10 989.

    当且仅当9x=,即x=10时取等号,

    即该厂应每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.

    (2)若厂家利用此优惠条件,则至少每隔35天,购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y₂元,则

    y₂=［9x(x+1)+900］+6×1 800×0.90

    =+9x+9 729(x≥35).

    令f(x)=x+(x≥35),

    x₂＞x₁≥35，则f(x₁)-f(x₂)=(x₁+)-(x₂+)

    =.

    ∵x₂＞x₁≥35,

    ∴x₂-x₁＞0,x₁x₂＞0,100-x₁x₂＜0.

    ∴f(x₁)-f(x₂)＜0,f(x₁)＜f(x₂),

    即f(x)=x+,当x≥35时为增函数.

    ∴当x=35时,f(x)有最小值,此时y₂＜10 989.

    ∴该厂应该接受此优惠条件.