Question

已知圆M：（x-1）²+（y-4）²=4，若过x轴上的一点P（a，0）可以作一直线与圆M相交，交点为A，B，且满足PA=BA，则a的取值范围为

[1-2

5

，1+2

5

]

．

Answer 1

分析：由圆的方程，可得M（1，4）且半径为2，根据条件PA=BA，利用圆的几何性质得动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，由此建立关于a的不等式并解之，可得本题答案．

解答：解：由题意，可得
∵圆M：（x-1）²+（y-4）²=4，
∴圆心为M（1，4），半径r=2，直径为4，故弦长BA的范围是（0，4]．
又∵PA=BA，∴动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，
∵圆与x轴相离，可得P到圆上的点的距离恒大于0．
∴P到M的距离小于或等于6，
根据两点间的距离公式有：

(a-1)2+42

≤6，
解之得1-2

5

≤a≤1+2

5

，即a的取值范围为[1-2

5

，1+2

5

]
故答案为：[1-2

5

，1+2

5

]

点评：本题给出x轴上一点P，经过P的直线交圆M于A、B，B恰好为PA的中点，求P的横坐标的范围．着重考查了圆的方程、两点间的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．